威爾森的生活札記 | 第 4

地球構造

閱讀時間 // 約 16 分鐘

這章在回答：岩石裡的應力怎麼描述？任何一個面上受多少正應力、剪應力？地殼裡的應力從哪裡來、怎麼量？這是構造分析的第三層：動力學。Ch2–3 描述了「怎麼變形」，這兩章問「是什麼造成的」。

考前 30 秒

應力 = 力 ÷ 面積；1 MPa = 10 bar，1 kbar = 100 MPa；地質上壓為正。靜岩壓 σ_V = ρgz ≈ 26 MPa/km。
Mohr 圓： $\sigma_n = \frac{\sigma_1+\sigma_3}{2} + \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\cos 2\theta$ 、 $\sigma_s = \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\sin 2\theta$ （θ = σ1 和面的法線的夾角）。
平均應力只改體積（圓心位置）；偏差應力才改形狀；差應力 σ1 − σ3 = Mohr 圓直徑。
單軸應變參考態 $\sigma_H = \frac{\nu}{1-\nu}\sigma_V$ ；熱效應 $\Delta\sigma_H = \frac{E\alpha\Delta T}{1-\nu}$ 。抬升冷卻讓硬的砂岩先進入張應力 → 節理。
裸孔崩落平行 σh；水力劈裂裂縫平行 σH；地表是主應力面。
水平擠壓增加：正斷層 → 平移 → 逆斷層（應力軸交換）。

先認識的名詞

名詞	一句話
體力／面力	和質量成正比（重力）／和面積成正比（作用在某個面上）
正應力 σn／剪應力 σs	垂直面／平行面的應力分量
主應力 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3	剪應力為零的三個互相垂直方向上的應力
應力橢球	用三個主應力當半軸描述一點的應力狀態
應力張量 σij	3 × 3 的矩陣，描述一點的完整應力狀態
平均應力 σm	三個主應力的平均，等向部分
偏差應力／差應力	總應力減去平均應力的張量／σ1 − σ3 這一個數
有效應力	總應力減去孔隙流體壓力
現地應力	岩體中現在存在的應力
參考應力狀態	只有重力和邊界條件時的「基準」應力
泊松比 ν／楊氏模數 E	側向應變和軸向應變的比值（負號）／應力和應變的比值（剛性）

這一章的邏輯地圖

邏輯地圖

岩石裡的應力怎麼描述？從哪裡來？

動力學：什麼力造成變形

應力是什麼？

力 ÷ 面積；單位、符號；應力張量與主應力

任意一個面上受多少？

Mohr 圓：σn、σs 隨 2θ 變化

哪部分會造成變形？

平均應力改體積、偏差應力改形狀；差應力

地殼裡的應力怎麼來？

參考狀態 + 熱、抬升、殘留、構造應力

怎麼量？

裸孔崩落、套鑽、水力劈裂、地質構造、震源機制

區域應力場長什麼樣？

板塊力；Anderson 體制；應力軸交換

手機上可以左右滑動看全圖。讀法：Ch4（上三層）是描述應力的工具：定義、Mohr 圓、把應力拆成會改體積和會改形狀的兩部分。Ch5（下兩層）把工具用到地殼：先算只有重力時的參考狀態，再加上熱、抬升等修正，並用各種方法實際量測，最後看板塊力造成的區域應力場。Mohr 圓在 Ch7 會再加上破壞包絡線，判斷岩石什麼時候破。

★ = 考試重點。每一節最後有「自我檢測」，先自己回答再打開。

1. 應力是什麼

力的來源（p.2）：自然界的力有重力（距離很遠也有作用，例如潮汐）、熱引起的力（例如地函對流推動板塊，產生水平力），以及只在原子尺度作用的電磁力和強、弱核力。地殼裡的水平應力主要來自板塊運動，垂直應力主要來自上覆岩層的重量（考古題）。

依作用方式分成兩類：體力作用在物體內每一點，大小和質量成正比（重力、磁力、離心力）；面力作用在某個面上，大小和面積成正比。應力就是面力 ÷ 面積。

左：作用在一個面上的力 F 可以直接分解成垂直面的 Fn 和平行面的 Fs。右：應力是「力 ÷ 面積」，同一個力作用在斜的面上時，面積變大（A/cos θ），所以應力不能像力一樣直接分解，要連面積一起算。這就是推導 Mohr 圓時要用三角形元素、分別考慮各面面積的原因。地質慣例：壓應力為正。自繪示意圖；概念參考：Fossen (2016) Fig. 4.1–4.2；課堂投影片 Ch4 p.7–8

單位：1 Pa = 1 N/m²；1 bar = 10⁵ Pa（約 1 大氣壓）；1 MPa = 10 bar；1 kbar = 100 MPa；1 GPa = 10 kbar。地核–地函邊界約 136 GPa，地心約 364 GPa。地質慣例壓應力為正、張應力為負（工程上相反）。

壓力（pressure） 這個詞只用在三個方向都相等的等向應力狀態，例如靜水壓。靜岩壓是上覆岩柱的重量：

\sigma_V = \rho g z

【例題 ★ 完整解】1 km 厚的岩柱（ρ = 2650 kg/m³）底部的靜岩壓是多少？

σ = ρgz = 2650 × 9.8 × 1000 = 2.6×10⁷ Pa ≈ 26 MPa。所以地殼的靜岩壓梯度約 26–30 MPa/km（約 0.3 kbar/km）。靜水壓用水的密度：1000 × 9.8 × 1000 ≈ 10 MPa/km。（石英比重約 2.65、長石 2.55–2.76；10 km 深處岩石密度約 2900 kg/m³。）

一點的應力狀態。在一點上，通過它的每一個面上的應力向量都不一樣，把所有方向的應力向量畫出來，二維時是一個橢圓、三維時是一個應力橢球。橢球有三個互相垂直的對稱軸，就是主應力方向，大小依序叫 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3；垂直主應力的面叫主應力面，上面沒有剪應力。

更完整的描述是應力張量：

一個小立方體三個面上的應力：每個面有一個正應力（垂直面）和兩個剪應力（平行面），三個面共 9 個分量，組成二階張量 σij（第一個下標是面的法線方向，第二個是應力的方向，例如 σxy 作用在垂直 x 軸的面上、方向平行 y）。立方體靜止時力矩平衡，σxy = σyx，所以獨立的只有 6 個。轉到適當的座標方向，剪應力全部變成 0，剩下對角線的三個就是主應力 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3。自繪示意圖；概念參考：Fossen (2016) Fig. 4.6；課堂投影片 Ch4 p.10–12

自我檢測 1

地殼的水平應力和垂直應力主要各來自哪裡？
為什麼應力不能像力一樣直接分解？
σxy 的兩個下標各代表什麼？為什麼應力張量只有 6 個獨立分量？
什麼時候可以用「壓力」這個詞？

答案：(1) 水平：板塊運動；垂直：上覆岩層重量。(2) 應力和面積有關，面的方向改變時面積也改變。(3) 第一個是面的法線方向，第二個是應力方向；力矩平衡使 σxy = σyx。(4) 三個方向應力相等的等向狀態（靜水壓）。

2. 一個面上受多少：Mohr 圓 ★

給定 σ1、σ3（先看二維），任意一個面上的正應力和剪應力是多少？

推導（作業 Hw01、Hw02，考古題）：取一個三角形小元素，斜邊是我們關心的面，面積 A，它的法線和 σ1 夾 θ。另外兩邊分別垂直 σ1 和 σ3，面積是 A cos θ 和 A sin θ。

作用在兩邊的力：σ1 · A cos θ（沿 σ1 方向）、σ3 · A sin θ（沿 σ3 方向）。
把這兩個力分解到斜面的法向和切向，力平衡：
- 法向：σn · A = σ1 A cos θ · cos θ + σ3 A sin θ · sin θ
- 切向：σs · A = σ1 A cos θ · sin θ − σ3 A sin θ · cos θ
消去 A，用倍角公式 cos²θ = (1 + cos 2θ)/2、sin²θ = (1 − cos 2θ)/2、sin θ cos θ = (sin 2θ)/2：

\sigma_n = \frac{\sigma_1+\sigma_3}{2} + \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\cos 2\theta, \qquad \sigma_s = \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\sin 2\theta

把兩式移項、平方相加，消去 2θ：

\left(\sigma_n - \frac{\sigma_1+\sigma_3}{2}\right)^2 + \sigma_s^2 = \left(\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\right)^2

這是 σn–σs 圖上一個圓心 (σ1 + σ3)/2、半徑 (σ1 − σ3)/2 的圓，就是 Mohr 圓。圓上每一點代表一個方向的面；面的法線和 σ1 夾 θ，在圓上就從 σ1 那端轉 2θ。

先預測：剪應力最大的面，法線和 σ1 夾幾度？那個面上的正應力是多少？

互動：Mohr 圓拉 σ1、σ3 和面的方向，看這個面上的正應力和剪應力；加孔隙壓看有效應力

σ150 MPa

σ322 MPa

θ（σ1 與面的法線夾角）60°

孔隙壓 p_f0 MPa

圓心（平均應力）= 36.0，半徑 = 14.0
差應力 σ1 − σ3 = 直徑 = 28.0 MPa
σn = 36.0 + 14.0 cos 120° = 29.0
σs = 14.0 sin 120° = 12.1

預設值就是作業 Hw05：σ1 = 50、σ3 = 22，向東傾 60° 的斷層（θ = 60°）。θ = 45° 時剪應力最大，等於半徑。孔隙壓讓所有正應力減少 p_f（有效應力），圓整個往左平移、大小不變。

讀圖的重點：θ = 0（面垂直 σ1）在圓的右端，σn = σ1、σs = 0；θ = 90° 在左端，σn = σ3；θ = 45° 時剪應力最大，等於半徑 (σ1 − σ3)/2，這時的正應力是圓心值。剪應力的符號有兩種慣例：Mohr 慣例是逆時針為正、順時針為負，張量慣例另有規定（p.6），考試畫圖時標清楚即可。

【例題 ★ 完整解】作業 Hw05：σ1 = 50 MPa（垂直），σ3 = 22 MPa（東西向）。一條南北走向、向東傾 60° 的斷層上 σn、σs 是多少？

第一步：找 θ。 斷層傾 60°，它的法線和垂直方向夾 60°（面傾斜多少，法線就離垂直多少）。σ1 垂直，所以 θ = 60°，2θ = 120°。σ3 是東西向，和斷層走向（南北）垂直，所以這個面剛好包含 σ2（南北向），可以用二維 Mohr 圓。

第二步：圓心、半徑。 圓心 = (50 + 22)/2 = 36；半徑 = (50 − 22)/2 = 14。

第三步：代入。 σn = 36 + 14 cos 120° = 36 − 7 = 29 MPa；σs = 14 sin 120° = 14 × 0.866 = 12.1 MPa。

上面的互動圖預設值就是這一題。

【換你算】作業 Hw04 的類型：同樣 σ1 = 50、σ3 = 22，(a) θ = 30° 的面？(b) 剪應力最大的面？(c) θ = 120° 的面（注意 2θ 在第三象限）？

提示：第二、四象限的三角函數會有負號。

答案：(a) 2θ = 60°：σn = 36 + 7 = 43，σs = 14 × 0.866 = 12.1。(b) θ = 45°：σn = 36，σs = 14。(c) 2θ = 240°：σn = 36 + 14 × (−0.5) = 29，σs = 14 × (−0.866) = −12.1（剪應力方向相反，在圓的下半）。

三維的情況：三個主應力畫成三個圓，所有可能的面落在大圓內、兩個小圓外：

三維時三個主應力畫成三個圓（σ1–σ3 大圓、σ1–σ2 和 σ2–σ3 兩個小圓），所有可能的面落在大圓內、兩小圓外的區域。靜水（靜岩）狀態三個主應力相等，圓縮成一點，任何面上都沒有剪應力。單軸壓縮只有 σ1；軸向壓縮（三軸實驗）σ2 = σ3，兩個小圓有一個縮成點；一般的三軸應力三個圓都在。自繪示意圖；概念參考：Fossen (2016) Fig. 4.10；課堂投影片 Ch4 p.20

自我檢測 2

推導 σn、σs 的公式，再推出 Mohr 圓的方程式。
Mohr 圓的圓心和半徑各是什麼？
θ 是哪兩個方向的夾角？為什麼在圓上要轉 2θ？
剪應力最大的面在哪裡？大小多少？

答案：(1) 見上面的推導。(2) 圓心 (σ1 + σ3)/2，半徑 (σ1 − σ3)/2。(3) σ1 和面的法線；公式裡出現的是 cos 2θ、sin 2θ。(4) θ = 45°，等於半徑 (σ1 − σ3)/2。

3. 平均應力、偏差應力、差應力 ★

任何應力張量都可以拆成兩部分：

\begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_m & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_m & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_m \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \sigma_{11}-\sigma_m & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22}-\sigma_m & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}-\sigma_m \end{pmatrix}, \qquad \sigma_m = \frac{\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}}{3}

平均應力（等向部分）：每個方向都一樣，只能讓物體膨脹或收縮，只改變體積、不改變形狀。在 Mohr 圖上就是圓心的位置。沒有偏差應力的狀態叫靜水應力。在岩石圈中，平均應力和靜岩壓密切相關，由埋藏深度和上覆岩層密度控制。
偏差應力（非等向部分）：才會改變形狀，也就是造成應變。它通常比平均應力小得多，但對形成地質構造更重要。
差應力 σ_d = σ1 − σ3：就是 Mohr 圓的直徑，等於最大剪應力的兩倍。完美的靜岩狀態差應力 = 0。差應力越大，岩石越容易破裂。

易錯（考古題：偏差應力和差應力有什麼不同？）：偏差應力是一個張量（σ_ij − σ_mδ_ij）；差應力是一個數（σ1 − σ3）。偏差應力的某個分量可以是負的（σ3 − σ_m < 0），但因為岩石圈中平均應力很大，加回去之後總應力的三個主應力通常仍然都是正的（壓應力）（p.52）。

決定岩石會不會破、會不會流動的，不是應力的絕對大小，而是差應力（p.50）。而且任何一點的差應力都不能超過岩石本身的強度：一旦想把差應力推到比強度還高，岩石就會變形（破裂或流動）把它釋放掉（p.51）。脆性地殼的強度隨深度增加，而且和岩性有關（Ch6）。

自我檢測 3

平均應力和偏差應力對物體各有什麼作用？
差應力在 Mohr 圓上是什麼？
偏差應力和差應力的差別？

答案：(1) 平均應力只改體積，偏差應力改形狀。(2) 直徑。(3) 偏差應力是張量，差應力是 σ1 − σ3 這一個數。

4. 地殼裡的應力：從參考狀態出發 ★

應力看不見，只能從間接的資料推。實際的做法是先算一個只有重力和簡單邊界條件時的參考狀態，再看實際應力偏離它多少，偏離的部分才和構造作用有關。

(1) 靜岩／靜水參考態：三個主應力相等（σ1 = σ2 = σ3 = ρgz），沒有差應力。

有效應力 = 總應力 − 孔隙壓。岩石有孔隙時，靜岩應力只由顆粒接觸面承擔，孔隙裡的水（或油氣）壓力會「撐」掉一部分。
超額孔隙壓（考古題：為什麼會有超額孔隙液壓？）：被不透水頁岩上下包住的砂岩，埋藏時孔隙水排不出去，孔隙壓就超過靜水壓。超額孔隙壓讓有效應力變小（Mohr 圓往左移），岩石更容易破裂（Ch7）。

(2) 單軸應變參考態（沉積盆地的壓密）：沉積物埋藏時只能上下壓縮，側向被周圍岩石擋住不能動，所以應變是單軸的（只有垂直方向縮短），但應力不是單軸的：側向被擋住，會產生水平應力。推導：側向應變為零，

\varepsilon_H = \frac{1}{E}\left[\sigma_H - \nu(\sigma_V + \sigma_h)\right] = 0, \quad \sigma_H = \sigma_h \;\Rightarrow\; \sigma_H = \frac{\nu}{1-\nu}\,\sigma_V

ν 是泊松比（Ch6）。ν = 0.25 時 σ_H = σ_V/3。差應力 $\sigma_V - \sigma_H = \frac{1-2\nu}{1-\nu}\sigma_V$ ，ν = 0.3 時 = 0.57σ_V，用 26 MPa/km 算約 15 MPa/km。在 p–q 圖上，埋藏時平均應力和差應力都隨深度增加。這個模型適合描述沒有構造應力的沉積盆地。

(3) 熱效應：岩石冷卻時想收縮，但側向被擋住，水平應力就會下降：

\Delta\sigma_H = \frac{E\,\alpha\,\Delta T}{1-\nu}

【例題 ★ 完整解】一塊岩石 E = 100 GPa、ν = 0.25、α = 7×10⁻⁶ /°C，溫度下降 100 °C。水平應力改變多少？

Δσ_H = (100×10⁹ × 7×10⁻⁶ × 100)/(1 − 0.25) = 7×10⁷/0.75 = 9.3×10⁷ Pa = 93 MPa（下降）。這個量級和幾公里深的靜岩壓相當，所以冷卻足以讓岩石從壓應力變成張應力。

(4) 埋藏與抬升：把 (2)、(3) 合起來，覆蓋層和溫度都改變時：

\Delta\sigma_H = \frac{\nu}{1-\nu}\Delta\sigma_V + \frac{E}{1-\nu}\alpha\Delta T

抬升時上覆岩層被侵蝕（σ_V 減少）、溫度下降，兩項都讓 σ_H 下降。下降的速率由岩石的 E、ν 決定。

先預測：砂岩（硬，E 大、ν 小）和頁岩（軟，E 小、ν 大）一起被抬升，誰會先進入張應力？

互動：埋藏再抬升，水平應力怎麼變？先埋到最大深度，再拉「現在深度」往上抬，看砂岩和頁岩誰先進入張應力

最大埋藏深度4 km

現在深度（抬升後）1.0 km

σV = 25 MPa
■ 砂岩 σH = -13 MPa（張應力 → 節理）
■ 頁岩 σH = 28 MPa

虛線：埋藏時（未固結的沉積物，σH 隨 σV 成比例增加）。實線：固結後抬升，σH 下降的速率 = ν/(1 − ν)·ρg + Eα·(地溫梯度)/(1 − ν)，第一項是覆蓋層變輕，第二項是冷卻收縮。E 大、ν 小的砂岩下降得快，先跨進張應力區；頁岩一直是壓應力。示意模型：ρg = 25 MPa/km、地溫梯度 30 °C/km、α = 10⁻⁵ /°C，岩石參數為代表值，未考慮孔隙壓。

結論（考古題：為什麼近地表有垂直節理？岩體在抬升過程中應力和破裂怎麼演變？）：

頁岩一直在壓應力區；砂岩抬升時進入張應力區，所以 E 高、ν 低的硬層（砂岩、石灰岩）先產生張裂（節理）。這也是為什麼節理常限制在硬層裡（Ch8）。
張應力讓 σ_H 成為 σ3、σ_V 成為 σ1，所以節理是垂直的（垂直 σ3）。
砂岩產生張裂所需的臨界孔隙壓也比頁岩低（p.37）：增加孔隙壓或抬升都能造成破裂。
反過來，深埋的儲集層砂岩除非經過明顯的抬升和冷卻，否則不會產生節理（科羅拉多高原密集節理的二疊紀砂岩就是抬升的結果）。

(5) 殘留應力：外力移除後被鎖在岩石裡的應力。例如砂岩埋藏時應力在顆粒接觸面累積；如果在外力移除前就膠結了，抬升侵蝕後有部分應力被鎖在顆粒內。

構造應力 = 總應力 −（參考狀態 + 非構造的殘留應力 + 熱應力 + 地表應力）。地表應力指季節、日夜溫度變化和地球潮汐造成的應力。

自我檢測 4

什麼是有效應力？超額孔隙壓怎麼形成？
單軸應變參考態是應力狀態還是應變狀態？推導 σ_H = νσ_V/(1 − ν)。
抬升時哪兩個因素讓 σ_H 下降？
為什麼砂岩比頁岩先產生節理？節理為什麼是垂直的？

答案：(1) 總應力減孔隙壓；被不透水層包住的砂岩埋藏時孔隙水排不出去。(2) 應變是單軸的，應力不是；側向應變 = 0，用虎克定律解出 σ_H。(3) 覆蓋層變輕（泊松效應）、冷卻收縮（熱效應）。(4) 砂岩 E 大、ν 小，σ_H 下降得快，先進入張應力；σ_H 成為 σ3（水平），節理垂直 σ3，所以是垂直的。

5. 怎麼量現地應力

應力不能直接觀察，所以需要各種間接方法：

方法	原理	得到什麼
裸孔崩落	井壁在應力集中處破裂剝落，井孔變成橢圓	剝落（拉長）方向平行 σh、垂直 σH；也能估差應力
套鑽法（應變鬆弛法）	把一塊岩芯鑽出來，讓它自由膨脹，量形狀變化	最大膨脹方向 = σH；要知道岩石的彈性；至少 6 個應力計才能求 3D 應力
水力劈裂法	封住一段井、加壓到岩石產生張裂	維持裂縫張開的壓力 ≈ σh；知道抗張強度可算 σH；裂縫平行 σH
地質構造	新的斷層崖、褶皺軸跡、張裂、火山口排列	現今應力的方向
震源機制（海灘球）	由 P 波初動或波形反演地震矩張量	P、T 軸，近似應力方向（Ch10）

從井孔量現地應力（俯視井的橫切面）。左：裸孔崩落。井壁上和 σH 垂直的兩側應力集中最大，岩石剝落，所以井孔沿 σh 方向被拉長：剝落方向平行最小水平應力 σh。右：水力劈裂。把一段井封起來加壓，張裂會沿著最容易打開的方向形成，也就是垂直 σh、平行 σH 的方向；維持裂縫張開所需的壓力約等於 σh。自繪示意圖；概念參考：Fossen (2016) Fig. 5.2–5.4；課堂投影片 Ch5 p.23–28

地表是主應力面（考古題：為什麼地表在應力分析時可以當成主應力面？）：地表和空氣接觸，任何自由面上剪應力都是零，所以地表就是一個主應力面，一個主應力垂直地表。這就是 Anderson 理論（Ch1）的出發點。但要注意地形會造成近地表的局部應力（例如山谷、峽灣兩側），鑽孔本身也會擾動應力場；斷層或破裂帶比周圍弱、能承受的剪應力較小，附近的應力場也會偏轉，效果類似一個開放的面（p.26–27）。

由地質構造推應力方向：例如台灣的最大主應力軌跡呈扇形分布，北台灣的應力軸順時針旋轉，反映的是菲律賓海板塊的聚合，加上北部琉球海溝後退、張裂的轉換構造（p.29）。

全球的資料整理在世界應力圖（World Stress Map）：用震源機制、裸孔崩落、鑽井誘發破裂、現地量測、斷層滑動分析和火山口排列，畫出 σH 的方向和應力體制。

自我檢測 5

裸孔崩落和水力劈裂的方向各和哪個水平主應力平行？為什麼？
為什麼地表是主應力面？哪些因素會讓近地表的應力偏離這個簡單情況？
套鑽法至少要幾個應力計才能求三維應力？

答案：(1) 崩落平行 σh：σH 垂直的兩側井壁應力集中最大、剝落；水力劈裂平行 σH：張裂垂直最小的 σh 最容易打開。(2) 自由面沒有剪應力；地形、鑽孔、斷層帶。(3) 6 個。

6. 區域應力場：板塊力與應力體制

水平應力主要來自板塊。和板塊構造有關的力：

和板塊運動有關的力。中洋脊推力（ridge push）：中洋脊地形高，往兩側推，脊頂附近是正斷層、遠處是逆斷層。隱沒板塊拉力（slab pull）：下沉的板塊拉著後面的板塊，老而冷、密度大的海洋岩石圈最大；如果隱沒的是輕的大陸地殼則為負。底部拖曳（basal drag）：岩石圈底部和地函之間的剪力，依兩者的相對運動，可能驅動也可能阻擋。碰撞阻力（collisional resistance）：作用在隱沒板塊上方，陸–陸碰撞時最大。水平應力主要來自這些板塊力，垂直應力來自上覆岩層的重量。自繪示意圖；概念參考：Fossen (2016) Fig. 5.13；課堂投影片 Ch5 p.46–47

把 Anderson 理論（Ch1）的三種體制放回地殼：垂直應力固定，水平擠壓增加時會發生什麼？

垂直應力 σV（上覆岩層重量）固定，水平擠壓逐漸增加。一開始兩個水平應力都比 σV 小，σV = σ1，是正斷層體制；σH 先超過 σV，這時 σV 變成 σ2，進入平移斷層體制；擠壓再大，σh 也超過 σV，σV 變成 σ3，進入逆斷層體制。所以從伸張到擠壓，中間會先經過平移體制（應力軸交換）。這也解釋了為什麼造山帶裡逆斷層、平移斷層、正斷層可以同時出現。自繪示意圖；概念參考：Fossen (2016) Fig. 5.12；課堂投影片 Ch5 p.40–43

喜馬拉雅–西藏（考古題：判讀震源機制）：同一個碰撞造山帶裡三種體制都有。南側山麓沿著板塊邊界是逆斷層體制；高聳的西藏高原上是正斷層體制（高原的重量讓 σV 變成 σ1，地殼在自己重量下往兩側垮）；東部則是平移體制，地殼被往側邊擠出去。這就是側向擠出（lateral escape）：老而冷的剛性陸塊（印度）擠進年輕、熱而軟的造山帶，把造山帶的地殼往旁邊推開（Ch1 的 Tapponnier 黏土實驗）。

平移斷層沿線（例如聖安德列斯斷層）預期是平移體制，但彎曲處會局部變成擠壓或伸張（Ch1 的躍階）。

自我檢測 6

四種板塊力各是什麼？哪一個在老而冷的海洋板塊最大？
水平擠壓逐漸增加，應力體制怎麼變？為什麼中間會經過平移體制？
為什麼喜馬拉雅這種擠壓造山帶裡也有正斷層和平移斷層？

答案：(1) 中洋脊推力、隱沒板塊拉力、底部拖曳、碰撞阻力；隱沒板塊拉力。(2) 正斷層 → 平移 → 逆斷層；σH 先超過 σV（σV 變 σ2），σh 後超過（σV 變 σ3）。(3) 高原地殼增厚、σV 大於水平應力時發生正斷層；東部地殼被側向擠出，形成平移斷層。

容易混淆的地方

容易搞混	正確理解
地質上張應力為正？	地質慣例壓為正（工程相反）
θ 是 σ1 和面的夾角？	θ 是 σ1 和面的法線的夾角；在 Mohr 圓上轉 2θ
剪應力最大的面和 σ1 夾 30°？	剪應力最大在 45°；30° 是岩石實際破裂的角度（Ch7，還要考慮正應力）
偏差應力 = 差應力？	偏差應力是張量；差應力是 σ1 − σ3 一個數
平均應力會造成變形？	平均應力只改體積；形狀改變靠偏差應力
單軸應變 = 單軸應力？	應變是單軸的，應力不是（σH = νσV/(1 − ν)）
裸孔崩落平行 σH？	崩落平行 σh；水力劈裂裂縫平行 σH
頁岩先產生節理？	砂岩（E 大、ν 小）先進入張應力
擠壓增加：正斷層直接變逆斷層？	中間先經過平移體制

章末綜合題

1.（考古、Hw03）畫出並解釋 Anderson 的構造應力分類。它的假設和限制是什麼？

假設：地表是自由面、不能傳遞剪應力，所以區域主應力平行或垂直地表；斷層是岩石對剪應力的反應，只在差應力不為零時發生；斷層以 Coulomb 剪裂起始，和 σ1 夾約 30°、包含 σ2。分類：σV = σ1 正斷層（傾 ~60°）、σV = σ2 平移、σV = σ3 逆斷層（~30°）。限制：既有弱面的摩擦強度低於完整岩石，會先再活動；斷層位態會隨漸進變形旋轉；應力方向會隨深度系統性改變（例如滑脫面附近）。

2.（計算）沉積盆地中 3 km 深的頁岩（ν = 0.35），只有重力和單軸應變邊界條件。σV、σH、差應力、平均應力各是多少？（ρg = 25 MPa/km）

σV = 25 × 3 = 75 MPa；σH = σh = 0.35/0.65 × 75 = 0.538 × 75 = 40.4 MPa；差應力 = 75 − 40.4 = 34.6 MPa；平均應力 = (75 + 40.4 + 40.4)/3 = 51.9 MPa。σV 是 σ1，如果發生破裂是正斷層體制。

3.（觀念）一位工程師在井裡看到井孔在 N30°E–S30°W 方向被拉長（裸孔崩落），又做了水力劈裂，裂縫朝哪個方向？最大水平應力在哪個方向？

崩落方向平行 σh，所以 σh 是 N30°E，σH 是 N60°W（垂直）。水力劈裂的裂縫平行 σH，走向 N60°W。

4.（考古）為什麼近地表常見垂直節理？一個岩體在抬升過程中應力和破裂怎麼演變？

埋藏時 σV、σH 都是壓應力，σV 最大。抬升時上覆岩層被侵蝕（σV 減小，經泊松效應讓 σH 減小）、溫度下降（熱收縮讓 σH 減小），σH 下降得比 σV 還快；E 大、ν 小的硬層（砂岩）σH 下降最快，接近地表時變成張應力。這時 σ3 是水平的 σH，張裂垂直 σ3 形成，所以節理是垂直的，而且常限制在硬層中。孔隙壓高時更容易發生。

延伸：看過就好

向量、矩陣、張量（Box 4.2）：向量是一階張量（一個下標，二維 2 個、三維 3 個分量）；應力是二階張量（兩個下標，二維 4 個、三維 9 個分量）。

p–q 圖（p.32）：橫軸平均應力 p、縱軸差應力 q，用來追蹤埋藏過程中應力狀態的變化；兩種泊松比下埋藏路徑都是往右上走。

複習問題（p.21、p.53–54）：地殼哪裡會有張應力？（抬升的硬層、張裂帶、褶皺外弧）；換座標系統時應力橢球的形狀和方向不變，但張量的分量會變；為什麼差應力隨深度增加？（岩石強度隨圍壓增加，能承受的差應力變大）。

第 2–3 章　變形與應變

第 6 章　流變學

第 4–5 章　應力