期中考古題解答

檢查：傾向一定和走向垂直；象限式的傾向象限要和 dd 一致（dd 在 180–270° 就寫 SW）。

規則：右手法則走向 = 傾向 − 90°（小於 0 就加 360°）；象限式走向：方位 0–90 → N□E、90–180 → S(180−□)E、180–270 → S(□−180)W、270–360 → N(360−□)W；一條走向線兩端互為反向，例如 S58°E 和 N58°W 是同一條線，習慣寫成 N 開頭。

1. 63°, 212° (dd)：傾向 212°（SW 象限）→ 右手走向 212 − 90 = 122° → 方位式 122°/63°；122° = S58°E = N58°W → 象限式 N58°W, 63°SW。
2. N32°W, 41°NE：走向線 N32°W = 328°（另一端 148°）；傾向要在 NE → 和走向垂直的兩個方向是 328 + 90 = 058° 與 238°，取 NE 的 058° → 傾沒式 41°, 058°；右手走向 058 − 90 = 328° → 328°/41°。
3. 36°, 222°：222 − 90 = 132° → 132°/36°；132° = S48°E = N48°W → N48°W, 36°SW。
4. N42°W, 59°NE：N42°W = 318°；垂直方向 048° 或 228°，取 NE → 59°, 048°；048 − 90 + 360 = 318° → 318°/59°。
5. 73°, 261°：261 − 90 = 171° → 171°/73°；171° = S9°E = N9°W，傾向 261° 在西南側 → N9°W, 73°SW。
6. N75°W, 43°NE：N75°W = 285°；垂直方向 015° 或 195°，取 NE → 43°, 015°；015 − 90 + 360 = 285° → 285°/43°。
7. 72°, 252°：252 − 90 = 162° → 162°/72°；162° = S18°E = N18°W → N18°W, 72°SW。
8. N73°W, 47°NE：N73°W = 287°；取 NE 的 017° → 47°, 017°；017 − 90 + 360 = 287° → 287°/47°。
9. S73°E, 71°NE：S73°E = 107°（另一端 287°）；垂直方向 017° 或 197°，取 NE → 71°, 017°；右手走向 017 − 90 + 360 = 287° → 287°/71°；象限式改寫成 N 開頭：N73°W, 71°NE。
10. 27°, 242°：242 − 90 = 152° → 152°/27°；152° = S28°E = N28°W → N28°W, 27°SW。

都是表示某一岩層厚度的等值線圖。Isopach（等厚線圖）：垂直層面量的真厚度；isochore（等垂厚線圖）：沿鉛直方向量的視厚度。水平岩層兩者相等；傾斜岩層 isochore > isopach（isochore = isopach／cos 傾角）；褶皺岩層的 isochore 會反映傾角變化。isopach 反映原始沉積厚度與變形造成的厚度變化，可用來看沉積盆地形狀、古河道、古地形、不整合、斷層、地層封閉；較好但較難畫（要知道傾角）。

原生構造：組成岩石的顆粒集結之後、固結之前，尚未受外力作用、只受重力作用形成的構造（交錯層理、粒級層理、波痕、泥裂、荷重鑄型、枕狀熔岩、柱狀節理、流動構造）。次生構造：岩石形成後受外力（構造力）作用形成（節理、斷層、褶皺、葉理）。相同：都是岩體中可描述的幾何現象。相異：形成時間與驅動力（重力／沉積、火成過程 vs 板塊構造力）。關連：原生構造是判斷地層上下與變形前狀態的參考（S₀ 層面原始水平），次生構造疊加在上面；有些非構造成因（重力滑動、鹽丘）介於兩者之間。

應力橢球：描述一點的應力狀態，三個互相垂直的主應力軸 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3，各方向的牽引力向量端點構成橢球；是瞬間的「力」。應變橢球：單位球均質變形後的形狀，主應變軸 X ≥ Y ≥ Z（= s₁、s₂、s₃）；是累積的「變形結果」。相同：都用三個互相垂直的主軸描述。相異：一個是原因（力／面積）、一個是結果（形狀改變）；應力可以是靜水的（球），應變橢球記錄整個變形歷史。關連：兩者經流變學（σ = Cε）連結；在均向、共軸、小應變時 σ1 ∥ Z（最大壓縮 ↔ 最大縮短），非共軸（simple shear）時應變軸會旋轉，兩者不一定平行。

平均應力 σm = (σ1 + σ2 + σ3)／3，是等向分量，只改變體積；偏差應力 σdev = σ − σm（σ1dev = σ1 − σm…），是非等向分量，改變形狀（造成變形、斷層、褶皺）。總應力 = 平均應力 + 偏差應力。靜水（靜岩）狀態下偏差應力為 0。

軸差應力：σ1 − σ3，是一個純量，等於莫爾圓直徑，也等於最大剪應力的兩倍（作用在法線與 σ1 夾 45° 的面上）；地殼中只有幾百 MPa，地函只有幾十 MPa，但足以驅動地函緩慢流動。偏差應力：總應力減掉平均應力的張量（三個分量）。相同：都描述應力的「不均等」部分，靜水狀態下兩者皆為 0。相異：純量 vs 張量；偏差應力的 σ3dev 可以是負的（看起來像張應力），但總應力仍可全為壓應力。

兩者都是 σ1 = σ2 = σ3 的等向應力狀態，只改變體積不改變形狀。靜水壓：靜止液體中任一點的壓力，P = ρ_wgh（約 10 MPa/km）；靜岩壓：靜止岩體中上覆岩石重量造成的壓力，P = ρgh（約 26–27 MPa/km；地下 1 km 花崗岩約 26.5 MPa）。差別在密度（水 1 vs 岩石 2.7 g/cm³）。關連：孔隙水壓通常為靜水壓，有效應力 = 靜岩應力 − 孔隙水壓；被不透水層封住時孔隙壓可超過靜水壓（超壓），接近靜岩壓時岩石容易水力破裂。

力：使物體改變運動狀態的作用，F = ma，向量，單位 N；分體力（與質量成正比，如重力）和面力（與面積成正比）。應力：單位面積上的力（牽引力）σ = F／A，單位 Pa；在一點上要用二階張量（9 個分量）描述，取決於面的方位。同樣的力作用在較小面積上應力較大。地質上看不到應力，只看到應力造成的結果（變形）。

伸長率 e = (l − l₀)／l₀（長度變化量對原長，伸長為正、縮短為負）；拉長比 s = l／l₀ = 1 + e。另有二次拉長比 λ = s² 。s 直接給出應變橢球的半軸長 X = s₁、Y = s₂、Z = s₃，所以比 e 好用。例：10 cm 拉到 15 cm，e = 0.5、s = 1.5。

都是平面應變（Y 不變）、通常體積不變（k = 1）。純剪：共軸變形，主應變軸方位不旋轉，沒有內部旋轉（運動渦度數 Wk = 0），兩條流動漸近線互相垂直。簡單剪：非共軸，平行剪動面的線不變長也不旋轉，主應變軸逐漸旋轉趨近剪動面（Wk = 1），只有一條流動漸近線。兩者之間的叫 general（subsimple）shear（0 < Wk < 1）。

都是 general shear：simple shear（平行剪動帶的走滑）加上 pure shear 分量。橫壓（transpression）：走滑 + 垂直剪動帶的縮短（剪動帶增厚、抬升，伴生逆斷層、褶皺、花狀構造正向，例：受阻躍階、聚合斜向板塊邊界）；橫張（transtension）：走滑 + 垂直剪動帶的伸張（剪動帶變薄、沉陷，伴生正斷層、拉張盆地、負花狀構造，例：鬆弛躍階）。

都是超過降伏點之後的塑性變形行為。應變硬化：持續變形需要更大的應力，因為差排互相纏結（dislocation tangle）、堆積，阻礙滑移；應力–應變曲線往上翹。應變軟化：持續變形需要的應力變小，原因有粒徑變小、動態再結晶、流體加入、礦物相變（糜稜岩化）；常讓變形集中成剪切帶。介於兩者之間是完全塑性（stress 不變）或穩態潛變。

均勻變形：物體每一部分的應變都相同；直線變形後仍是直線、平行線仍平行、圓變成橢圓。非均勻變形：各部分應變不同，直線會彎曲、平行線不再平行。是否均勻取決於觀察尺度：大尺度非均勻的變形，切成小區域後可當成均勻處理。

• Strike（走向）：面和水平面交線的方位（0–360°或象限式）。Trend（方位、bearing）：線投影到水平面的方位，指向線傾沒的方向。相同：都是水平方向的方位角；相異：一個描述面、一個描述線；面上的走向線本身 plunge 為 0。
• Plunge（傾沒角）：線和水平面的夾角，在鉛直面上量。Rake（pitch，側伏角）：線和水平線（走向線）的夾角，在該線所在的面上量。關連：sin(plunge) = sin(rake) × sin(dip)；面是鉛直時 rake = plunge，線沿走向時兩者都是 0。

脆性：變形時岩體內某些面失去內聚力，形成破裂並沿破裂滑動（節理、斷層），通常在低溫低圍壓、高應變率；應力–應變曲線在破壞點後應力急降。韌性：變形時岩體沒有失去內聚力，在中尺度上連續流動（褶皺、葉理），通常在高溫高圍壓、低應變率。兩者是尺度相關的「變形樣式」；機制上，碎裂流在中尺度可以是韌性的，所以韌性 ≠ 塑性（晶體塑性機制）。之間有脆韌性轉換（kink）。

類似應力的分解：平均（體積）應變 = 三個主應變的平均，代表體積變化（膨縮 dilation）；偏差應變 = 總應變減平均應變，代表形狀改變（扭曲 distortion）。應變 = 扭曲 + 膨縮。

見 C2：彈性（彈簧）σ = Ee，瞬間反應、可完全恢復、和時間無關；黏性（唧筒）σ = ηė，應變隨時間累積、不可恢復，應力和應變速率成正比。

1. 粒級層理（graded bedding，濁流）：底粗頂細（Bouma 序列），粗的一側是底。
2. 交錯層理（cross-bedding）：前積層頂部被截切、底部和下界面相切；截切那一側朝上。
3. 波痕（ripple marks）：對稱波痕尖頂朝上、圓谷朝下。
4. 泥裂（mudcracks）：裂縫呈 V 字往下尖滅，被上層物質填滿。
5. 荷重鑄型與焰狀構造（load cast、ball-and-pillow）：砂層底面往下突起、泥質火焰往上竄。
6. 其他可選：雨滴印痕（凹坑朝上）、槽鑄型（flute cast，在層的底面）、生痕化石（蟲孔、足跡從上往下）、枕狀熔岩（圓頂朝上、尾巴朝下尖）、氣孔（熔岩流頂部多、底部少）、沖刷面與滯留礫。

組合：彈塑性（彈簧 + 滑塊串聯，地殼大尺度變形）、黏塑性（Bingham，熔岩、油漆）、Kelvin（並聯，可恢復但延遲）、Maxwell（串聯，短期彈性、長期黏性，地函）、General linear。

變形路徑與板岩形成：

1. 階段 1：壓密。沉積物垂直縮短 50 %（體積損失 50 %），單軸扁平（k = 0），Z 垂直，層面 bc 是扁平面 → 頁岩的層面劈理（bedding fissility）。
2. 階段 2–3：水平縮短開始（沿 c，東西向），體積不再變（V = 0.5）。c 縮短、a 伸長，原本的扁平形狀被「抵消」：k 從 0 往 ∞ 走，強度 i 反而下降（應變橢球變得接近球或雪茄），在 Flinn 圖上往原點附近繞、靠近縱軸 → 層面劈理和新的縮短作用交切，形成鉛筆構造（pencil structure）（階段 3 的雪茄狀，長軸平行 b，也就是兩組面的交線）。
3. 階段 4：c 縮短到 0.5，a 回到 1，又是 k = 0 的單軸扁平，但扁平面換成 ab（直立） → 板劈理出現。
4. 階段 5：持續水平縮短，a 大幅伸長（2.5）、c 縮到 0.2，k ≈ 0.4（扁平區）、i = 4.27，強烈的板劈理（slaty cleavage），原來的層面劈理被完全取代。

Flinn 圖畫法：橫軸 Y/Z、縱軸 X/Y，五個點依序連起來：(2,1) → (1.61,1.11) → (1.01,1.41) → (2,1) → (5,2.5)。路徑先往左上（扁平 → 雪茄），再回到下方的扁平區並往右上延伸。

階段 2：a = 0.56、b = 1、c = 0.9

1. 由大到小排序：X = 1（b）、Y = 0.9（c）、Z = 0.56（a）。
2. X/Y = 1／0.9 = 1.11；Y/Z = 0.9／0.56 = 1.61。
3. k = (1.11 − 1)／(1.61 − 1) = 0.11／0.61 = 0.18（0 < k < 1，扁平型）。
4. i = √[(1.11 − 1)² + (1.61 − 1)²] = √(0.0123 + 0.369) = √0.381 = 0.62。
5. V = 0.56 × 1 × 0.9 = 0.504（相對原始體積 1，ΔV ≈ −50 %，和階段 1 相同 → 這一步沒有再損失體積）。
6. 在 Flinn 圖上點 (Y/Z, X/Y) = (1.61, 1.11)。

階段 5：a = 2.5、b = 1、c = 0.2

1. X = 2.5（a，垂直）、Y = 1（b）、Z = 0.2（c，東西向）。
2. X/Y = 2.5；Y/Z = 1／0.2 = 5。
3. k = (2.5 − 1)／(5 − 1) = 1.5／4 = 0.375。
4. i = √(1.5² + 4²) = √(2.25 + 16) = √18.25 = 4.27。
5. V = 2.5 × 1 × 0.2 = 0.5。
6. 扁平面 = XY 面 = a–b 面（直立、南北走向）→ 就是板劈理 ab；Z 平行 c（東西）= 最大縮短方向。

特別注意階段 3：Y/Z = 0.71／0.70 = 1.014，分母 b − 1 = 0.014 很小，所以 k ≈ 0.408／0.014 ≈ 29，幾乎是單軸伸長（雪茄形），長軸 X = b（南北向，水平）→ 鉛筆構造的長軸方向。

2021–2024 的表格只給兩欄，其餘要從附圖的方塊讀（附圖方塊上標的長度，依序對應 a、b、c）：

注意：(1) 每一欄都要先把三個數字由大到小排成 X、Y、Z 再算；(2) 2023–24 的表格 4（1, 1, 0.4）體積只剩 0.4，代表除了壓密以外還有額外的體積損失（壓溶把物質帶走），討論時要提到；(3) 箭頭指向的欄位以考卷為準，填入方塊數值後，路徑解釋和上面一樣：壓密扁平 → 水平縮短抵消（鉛筆構造）→ 新的 ab 扁平（板劈理）。

作圖法：莫爾圓圓心 65、半徑 35，從 σ1 點（100, 0）逆時針轉 2θ 讀座標。

1. 讀圖：σ1 = 100 MPa 鉛直、σ3 = 30 MPa 水平；所有平面都包含 σ2 方向，所以可以只用 σ1、σ3 的二維莫爾圓。
2. 求 θ：θ 是平面的法線和 σ1 的夾角。σ1 鉛直，所以法線和鉛直的夾角 = 平面和水平面的夾角 = 平面傾角。Plane 1 水平 → θ = 0°；Plane 2 傾 30° → θ = 30°；Plane 3 → 45°；Plane 4 → 60°；Plane 5 鉛直 → 90°。
3. 算圓心、半徑：(σ1 + σ3)／2 = (100 + 30)／2 = 65；(σ1 − σ3)／2 = 35。
4. 代公式：
   • Plane 2：2θ = 60°，cos60° = 0.5、sin60° = 0.866 → σn = 65 + 35 × 0.5 = 82.5 MPa；τ = 35 × 0.866 = 30.3 MPa。
   • Plane 3：2θ = 90°，cos = 0、sin = 1 → σn = 65 MPa；τ = 35 MPa（最大）。
   • Plane 4：2θ = 120°，cos120° = −0.5、sin120° = 0.866 → σn = 65 − 17.5 = 47.5 MPa；τ = 30.3 MPa。
   • Plane 1：2θ = 0° → σn = 65 + 35 = 100（= σ1）、τ = 0（主應力面）。
   • Plane 5：2θ = 180° → σn = 65 − 35 = 30（= σ3）、τ = 0。
5. 作圖檢查：橫軸 σn、縱軸 τ，圓心 (65, 0)、半徑 35；從 (100, 0) 沿圓周轉 2θ，讀出的點座標要和計算一致。
6. 剪動方向：Plane 2 與 Plane 4 剪應力大小相同；Plane 3 和 Plane 6 傾向相反，剪應力大小相同、方向相反（兩組共軛面）。

正向應變 e = σn／E；剪應變 γ = τ／G；橫向應變 e_⊥ = −ν·e。

應變沒有單位（或寫 με、%）。這是只用平面上的正應力和剪應力代入 Hooke 定律的簡化算法（題目要的就是這個）；嚴格來說，三軸應力下的正向應變要用 e = [σn − ν(其他兩方向應力)]／E。

已知 σn = 82.5 MPa、τ = 30.3 MPa；E = 100 GPa、G = 20 GPa、ν = 0.25。

1. 統一單位：E = 100 GPa = 100,000 MPa；G = 20 GPa = 20,000 MPa。
2. 正向應變（Hooke）：e = σn／E = 82.5／100,000 = 8.25 × 10⁻⁴（壓縮，縮短 0.0825 %）。
3. 剪應變：γ = τ／G = 30.3／20,000 = 1.52 × 10⁻³（剪切角 ψ = arctan γ ≈ 0.087°）。
4. 橫向應變：e_⊥ = −ν e = −0.25 × 8.25 × 10⁻⁴ = −2.06 × 10⁻⁴（和壓縮方向垂直的方向伸長）。
5. 寫上結論：應變都在 10⁻³ 以下，屬小應變、彈性範圍內，Hooke 定律適用。

常見錯誤：沒把 GPa 換成 MPa（差 1000 倍）；橫向應變忘記負號；用 E 去算剪應變（剪應變要用剛度 G）。檢查：E = 2G(1 + ν) → 100 vs 2 × 20 × 1.25 = 50，題目給的 E、G、ν 不完全自洽，照題目給的值分別代入即可。

1. 兩個圓：圓心 (σ1 + σ3)／2、半徑 (σ1 − σ3)／2。
2. 畫兩圓的公切線就是 Coulomb 包絡線 τ = C + μσn。
3. 兩圓公切線的斜角：sinφ = (r₂ − r₁)／(c₂ − c₁) = (61 − 36.5)／(103 − 50.5) = 24.5／52.5 = 0.467 → φ ≈ 27.8°、μ = tanφ ≈ 0.53。
4. 截距：C = r₁·√(1 + μ²) − μ·c₁ = 36.5 × 1.131 − 0.528 × 50.5 ≈ 14.6 MPa（用第二個圓檢查也得 14.6）。
5. 破裂面法線和 σ1 夾 θ = 45° + φ/2 ≈ 59°，所以破裂面和 σ1 夾約 31°。

1. 圓 1：σ3 = 14、σ1 = 87 → 圓心 c₁ = (87 + 14)／2 = 50.5、半徑 r₁ = (87 − 14)／2 = 36.5。
2. 圓 2：σ3 = 42、σ1 = 164 → c₂ = 103、r₂ = 61。
3. 公切線的斜角 φ：包絡線和兩圓都相切，圓心到切線的距離 = 半徑。兩圓心沿 σn 軸差 Δc = 52.5，半徑差 Δr = 24.5，切線和 σn 軸的夾角 φ 滿足 sinφ = Δr／Δc = 0.467 → φ = 27.8°。
4. 摩擦係數：μ = tanφ = tan27.8° = 0.53。
5. 凝聚力：切線 τ = C + μσn 到圓心 (c, 0) 的距離 = (C + μc)／√(1 + μ²) = r → C = r√(1 + μ²) − μc = 36.5 × 1.131 − 0.528 × 50.5 = 41.3 − 26.7 = 14.6 MPa。用圓 2 驗算：61 × 1.131 − 0.528 × 103 = 69.0 − 54.4 = 14.6 ✓。
6. 破裂角：2θ = 90° + φ = 117.8° → θ = 58.9°（法線與 σ1 夾角）→ 破裂面與 σ1 夾 31.1°。
7. 抗張強度若用 Griffith：T = C／2 ≈ 7.3 MPa（包絡線在 σn < 0 段改成拋物線）。

逆斷層：σ1 水平、σ3 = σv（鉛直）。步驟：

1. σv = ρ_rgz；孔隙水壓（靜水）P_f = ρ_wg(z − 地下水面深度)。
2. σ3′ = σv − P_f（有效應力）。
3. Coulomb 破壞時：σ1′ = σ3′·(1 + sinφ)／(1 − sinφ) + 2C·cosφ／(1 − sinφ) = 2.75 σ3′ + 48.4（MPa）。

（g = 9.8 m/s²。若問總應力，再加回 P_f。）

1. 判斷應力狀態：逆斷層 → σ1 水平（σ_H）、σ3 = 鉛直應力 σv（Anderson）。
2. 鉛直總應力：σv = ρgz = 2500 kg/m³ × 9.8 m/s² × 4000 m = 9.80 × 10⁷ Pa = 98.0 MPa。
3. 孔隙水壓（地下水面以下為靜水壓）：P_f = ρ_wg(z − z_w) = 1000 × 9.8 × (4000 − 20) = 3.90 × 10⁷ Pa = 39.0 MPa。
4. 鉛直有效應力：σ3′ = σv − P_f = 98.0 − 39.0 = 59.0 MPa。
5. Coulomb 破壞條件改寫成主應力形式：由幾何 (σ1′ − σ3′)／2 = sinφ·[(σ1′ + σ3′)／2 + C／tanφ]，整理得 σ1′ = σ3′ · (1 + sinφ)／(1 − sinφ) + 2C · cosφ／(1 − sinφ)。 φ = 27.8° → sinφ = 0.467、cosφ = 0.885：(1 + 0.467)／(1 − 0.467) = 2.75；2 × 14.6 × 0.885／0.533 = 48.4。
6. 答案：σ1′ = 2.75 × 59.0 + 48.4 = 162.3 + 48.4 = 210.7 MPa（水平最大有效應力）。若問總應力：σ_H = 210.7 + 39.0 = 249.7 MPa。
7. 2020 版（ρ = 2.3、地下水面 500 m、2 km）：σv = 2300 × 9.8 × 2000 = 45.1 MPa；P_f = 1000 × 9.8 × 1500 = 14.7 MPa；σ3′ = 30.4 MPa；σ1′ = 2.75 × 30.4 + 48.4 = 132.0 MPa。

2020 d（E = 80 GPa、G = 20 GPa）：新逆斷層面 2θ = 90° + φ = 117.8°。有效應力圓心 81.2、半徑 50.8：σn′ = 81.2 + 50.8 cos117.8° ≈ 57.5 MPa，τ = 50.8 sin117.8° ≈ 44.9 MPa。e = 57.5／80,000 ≈ 7.2 × 10⁻⁴，γ = 44.9／20,000 ≈ 2.2 × 10⁻³。

2024 d（摩擦準則 τ = 0.7σn′）：題意是要讓 c 成立（產生新的逆斷層），就不能有「在這個應力狀態下會先沿既存裂隙滑動」的裂隙。

1. 在 c 的莫爾圓上畫摩擦線 τ = 0.7σn′（過原點）。
2. 莫爾圓超出摩擦線的那段弧：那些方位的既存裂隙會先滑動 → 這個角度範圍內不可以有不連續面。
3. 讀出 2θ 範圍，換算：逆斷層 σ1 水平，所以裂隙傾角 = 90° − θ。
4. 以 2020 的應力（σ1′ = 132、σ3′ = 30.4）：圓超出摩擦線的範圍 2θ ≈ 101°–149° → θ ≈ 51°–74° → 傾角約 16°–39° 的裂隙不能存在（新逆斷層本身約 31°，落在這範圍中間）。
5. 以 2024 的數字（σ1′ = 211、σ3′ = 59）：圓剛好幾乎碰到摩擦線（最接近處在 2θ ≈ 125°，傾角約 28°）；若考場的 σ1 數據讓圓超出摩擦線，作法同上。

1. 有效應力莫爾圓：σ1′ = 132.0、σ3′ = 30.4 → 圓心 c = 81.2、半徑 r = 50.8。
2. 圓上一點（法線與 σ1 夾 θ）：σn′ = c + r cos2θ、τ = r sin2θ。
3. 會滑動的條件：τ ≥ 0.7σn′ → r sin2θ − 0.7 r cos2θ ≥ 0.7c。
4. 左邊寫成 r√(1 + 0.49) · sin(2θ − α)，α = arctan0.7 = 35.0°；√1.49 = 1.221： 50.8 × 1.221 × sin(2θ − 35°) ≥ 0.7 × 81.2 → sin(2θ − 35°) ≥ 56.8／62.0 = 0.916。
5. 2θ − 35° 介於 66.4° 和 113.6° → 2θ ≈ 101°–149° → θ ≈ 51°–74°。
6. 換成傾角：逆斷層 σ1 水平，平面法線與水平夾 θ，所以平面傾角 = 90° − θ → 16°–39°。
7. 結論：傾角約 16°–39°（走向 ⊥ σ1）的既存裂隙在達到新斷層的破壞應力之前就會先沿摩擦面滑動，所以要讓「產生新逆斷層」成立，這個範圍內不能有不連續面。新斷層本身傾角 31°，正好落在這範圍內。
8. 2024 的數字：c = 134.9、r = 75.9 → sin(2θ − 35°) ≥ 0.7 × 134.9／(75.9 × 1.221) = 94.4／92.7 = 1.02 > 1，無解 → 用課本 σ1 數據算時，沒有任何角度的既存裂隙會先滑動（圓剛好差一點碰到摩擦線，最接近的是傾角約 28° 的裂隙）。考場若給的 σ1 不同，代同樣步驟。

在莫爾圖上畫一條組合包絡線：

• Griffith（張力區，σn < 0）：拋物線 τ² + 4Tσn − 4T² = 0（張為負時寫 τ² = 4T(σn + T)）；截距 τ = 2T，所以 C = 2T。來自微裂隙尖端的應力集中。
• Coulomb（壓力區）：直線 τ = C + μσn。
• von Mises（高圍壓、韌性）：水平線 τ = 常數（降伏應力），和正應力無關。

四種破裂模式（依莫爾圓碰到包絡線的位置）：

1. 張力破裂（tensile，Mode I）：小圓（差應力 < 4T）碰到包絡線和 σn 軸交點 −T，破裂面 ⊥ σ3（節理、脈）。
2. 混合破裂（hybrid）：圓碰到拋物線段（σn < 0），破裂面和 σ1 夾 0–30°，有張開也有剪動。
3. 剪動破裂（shear）：圓碰到 Coulomb 直線，破裂面和 σ1 夾約 30°（共軛）。
4. 韌性破壞（ductile）：大圓碰到 von Mises 水平線，在最大剪應力面（45°）上發生塑性流動、剪切帶，沒有失去內聚力。

• 依晶體形狀：自形（euhedral，空腔中自由生長）、塊狀（blocky，等軸粒狀，裂隙一次張開後才充填）、拉長狀（elongate）、纖維狀（fibrous，crack-seal 反覆破裂、立刻封填）。
• 纖維脈依生長方向：同向脈（syntaxial）：從脈壁往中間長，礦物和圍岩相同（石灰岩中的方解石脈），中線是最後的生長面；反向脈（antiaxial）：從中線往兩壁長，礦物和圍岩不同（例：頁岩中的纖維狀方解石），中線常有包裹物；另有伸展型（stretched）、複合型。纖維長軸 = 最大伸張方向。
• 依液壓：既存裂隙再張開（P_f > σ3）、超壓（P_f > σ3 + T，自然水力破裂）；液壓越高，越能在不同方位的裂隙中形成脈。
• 依排列：平行脈群、網狀脈群（stockwork）、雁行脈（剪切帶中、長軸與帶邊界約 45°）、S 形雁行脈。

會，在條件適合時。畫圖：一個在包絡線下方、接近但未觸碰的莫爾圓（斷層臨界應力狀態）。降雨入滲使地下水面上升、孔隙水壓 P_f 增加 → 有效應力 σ′ = σ − P_f 降低 → 莫爾圓向左平移、半徑（差應力）不變 → 碰到破壞包絡線（或既存斷層的摩擦線 τ = μσn′）→ 斷層滑動 → 地震。條件：斷層原本就接近臨界、岩體滲透率夠讓水壓傳到震源深度（通常延遲數天到數月），所以多半是小規模的誘發地震（例：大雨後、水庫蓄水、廢水灌注誘發地震）。如果斷層離臨界很遠，降雨造成的水壓變化（幾十 kPa 到 MPa）不足以觸發。