第 2–3 章　變形與應變

這章在回答：岩石變形了多少、怎麼變的？同樣的最終形狀可以經由不同的路徑達成嗎？從變形後的化石、礫石，要怎麼量回應變？這是構造分析的第二層：運動學，只描述運動，不問是什麼力造成的（那是 Ch4–5）。

考前 30 秒

1. 變形 = 剛體平移 + 剛體旋轉 + 應變（形變） + 體積變化。
2. e = (l − l₀)/l₀；s = 1 + e；λ = s²；ē = ln(1 + e)；γ = tan ψ（ψ 是原本垂直的兩條線偏離 90° 的角度）。
3. 均質變形：直線仍直、平行仍平行、圓變橢圓。
4. Pure shear 共軸、W_k = 0、兩條流脊垂直；simple shear 非共軸、W_k = 1、剪動面不變長不旋轉、只剩一條流脊；中間是 subsimple shear（cos α = W_k）。
5. Flinn 圖 $k = \dfrac{X/Y - 1}{Y/Z - 1}$：k = 1 平面應變，k > 1 雪茄（L-tectonite），k < 1 鬆餅（S-tectonite）。
6. 應變分析：Wellman（原本垂直的對稱線）、Breddin、R_f/φ（原本不是圓的標誌）、中心對中心法、Fry 法（中央空白 = 應變橢圓）。

先認識的名詞

這一章的邏輯地圖

★ = 考試重點。每一節最後有「自我檢測」，先自己回答再打開。

1. 什麼是變形：拆成四個部分

變形（deformation）是岩石從起始幾何到最終幾何的轉換。每個質點從起點到終點有一個位移向量，所有質點的位移向量合起來就是位移場（例如 2011 東北大地震的 GPS 同震位移場）；而質點在變形過程中實際走過的路線叫質點路徑，它反映的是漸進變形的歷史。只看起點和終點，無法知道中間怎麼走。

變形可以拆成四個部分：

剛體平移和剛體旋轉時，質點彼此的距離和夾角都不變，岩石本身沒有「受傷」。應變（strain）則是形狀的改變，質點彼此的相對位置變了；它可以伴隨或不伴隨體積變化。構造地質主要研究應變，因為它記錄在岩石裡：變形的鮞石、退色斑、化石。

數學上，均質變形可以用一個變形矩陣 D（位置梯度張量）描述：新位置 = D × 舊位置，

例如 simple shear 是 $D = \begin{pmatrix} 1 & \gamma \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$（x' = x + γy），pure shear 是 $D = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & 1/k \end{pmatrix}$。D 的行列式是面積變化的倍數（兩者都 = 1，面積不變）；反矩陣 D⁻¹ 是「反變形」，可以把變形後的形狀還原。

2. 應變怎麼量化 ★

一維：長度的改變。一條線原長 l₀，變形後長 l：

為什麼要那麼多種？各有用途。e 最直觀；s 可以直接相乘（先拉 2 倍再拉 1.5 倍 = 3 倍）；λ 出現在應變橢圓的方程式裡（λ 是 s 的平方，二次伸長比更好的名字其實是「二次拉伸比」）；自然應變 ē 是把很多次小變形累加起來的結果，可以直接相加。

易錯：投影片的自然應變寫成 ln(e)，應為 ln(1 + e)。

二維：角度的改變。取兩條原本互相垂直的線，變形後它們的夾角偏離 90° 的量叫角剪動 ψ（順時針為正），剪應變 γ = tan ψ。

應變橢圓：均質變形下，一個圓會變成橢圓，它描述了平面上每個方向伸長了多少。長半軸 X = 1 + e₁、短半軸 Y = 1 + e₂，應變比 R = X/Y 描述形狀（R = 1 時沒有形變，只有面積變化）。三維時是應變橢球，三個半軸 X ≥ Y ≥ Z 就是三個主拉伸比：$X = \sqrt{\lambda_1} = s_1$，依此類推。體積變化 Δ = (V − V₀)/V₀。

3. 均質與非均質變形 ★

上面所有的量化都建立在一個前提上：均質變形（homogeneous deformation）。它的定義有三條：

1. 原本是直線的仍然是直線；
2. 原本平行的線仍然平行；
3. 圓變成橢圓（三維：球變成橢球）。

只要有一條不成立，例如直線被彎曲，就是非均質變形。實際的地質變形在露頭或更大的尺度通常是非均質的，所以構造地質家要把構造切割成較小的區域（domain），在每一個區域內近似成均質再分析。

怎麼判斷切出來的區域夠不夠均質（考古題）？就用上面的定義：區域內的標誌層是否仍是直線、平行的線是否仍平行、同類應變標誌（例如鮞石）的形狀和方向是否一致。如果區域內標誌的形狀或方向有系統性的變化，就要切得更小，或改在更大的尺度看。

尺度很重要。一個被很多小斷層切穿的岩體，在大尺度下仍可以當成均質，因為斷層這些不連續面相對很小（投影片 p.8）。北海裂谷局部是 simple shear，但在整個裂谷的尺度上用 pure shear 描述更好（p.42）。

4. 同一個橢圓，兩種走法：pure shear 與 simple shear ★

應變橢圓只告訴我們最後的形狀。同一個橢圓，可以經由完全不同的變形歷史得到。最重要的兩個端點：

Pure shear（純剪）：一個方向壓扁、垂直方向等量伸長。主應變軸從頭到尾都不旋轉，平行主應變軸的線始終保持原來的方向，這叫共軸（coaxial）變形。沒有內部渦度。

Simple shear（單剪）：像推一疊撲克牌，每一層相對下一層平移。它是一種體積不變的平面應變。和剪動方向平行的面叫剪動面，它是沒有應變的面：剪動面上的線不伸長、不旋轉；垂直剪動面的距離也不變。但應變橢圓的長軸 X 會一直旋轉，從 45° 慢慢轉向剪動方向，這叫非共軸（non-coaxial）變形。

先預測：simple shear 一直做下去，橢圓長軸最後會平行剪動方向、還是一直轉過頭？想好再把變形量拉到最大。

怎麼描述「介於兩者之間」？用三個流動參數：

• 流脊（flow apophyses）：質點不能穿越的理論線，只能沿著它走或停在上面，它把質點路徑分成幾個區。pure shear 有兩條互相垂直的流脊，質點沿雙曲線靠近一條、遠離另一條；simple shear 只剩一條（平行剪動方向），質點沿直線平行剪動方向移動；subsimple shear（又叫 general shear 通剪）有兩條斜交的流脊，一條平行剪動方向。兩條流脊的夾角 α 從 90°（pure）到 0°（simple）。
• 運動渦度數 W_k：比較物質線旋轉的角速度和伸長的速率，衡量非共軸的程度，pure shear = 0、simple shear = 1。對平面變形，$W_k = \cos\alpha$。
• ISA（瞬時伸張軸）：此刻伸長最快（ISA1）和縮短最快（ISA3）的方向。simple shear 時 ISA 和剪動面夾 45°。注意平行 ISA 的線此刻不旋轉，但平行有限應變主軸的線會旋轉。

如果流動參數在整個變形歷史中都不變，就叫穩態流動（steady-state flow）。

（作業 Hw01 要畫的就是這張表。）

相容性：為什麼剪切帶常常接近 simple shear？

在板塊構造上的意義：斜向聚合（transpression）時，斜的那條流脊平行板塊的聚合向量，α 就是聚合角：90° 是正面碰撞（大尺度的 pure shear），0° 是純粹的平移邊界（大尺度的 simple shear）。

其他參考狀態：

• Super-simple shear：只有一個特徵向量（三維是一條旋轉軸），所有線都會旋轉，例如相對剛性、只稍微變形的礫石或斑晶。類比板塊運動的歐拉極。
• Uniaxial strain（單軸應變，例如壓密）：只有一個方向縮短，是共軸變形的一種。壓密會讓層面和斷層都變緩。
• 平面應變：中間軸 Y = 1（不伸長也不縮短），simple shear 和 pure shear 都是平面應變。

5. 三維形狀：Flinn 圖 ★

應變分析通常只能得到比值，不知道絕對大小，所以用兩個比值來描述橢球的形狀：a = X/Y、b = Y/Z，畫成 Flinn 圖。因為 X ≥ Y ≥ Z，a 和 b 都 ≥ 1。

• k = 1 的對角線：沒有體積變化時就是平面應變（Y = 1），例如 simple shear。
• k > 1（上方）：雪茄狀（prolate），收縮（constrictional） 應變，岩石發育線理，叫 L-tectonite。
• k < 1（下方）：鬆餅狀（oblate），壓扁（flattening） 應變，岩石發育葉理，叫 S-tectonite。
• 原點 (1, 1) 是沒有形變；只有等向的體積變化也在原點。

Ramsay 圖是取對數的 Flinn 圖：橫軸 ln(Y/Z)、縱軸 ln(X/Y)。好處是同樣的形狀在圖上的距離和變形量成比例，概念完全一樣。

6. Simple shear 剪切帶裡會長出什麼

非共軸變形還有一個重要後果：不同方向的線命運不同。線現在的方向決定它過去被縮短還是伸長：

而根據瞬時的伸張、縮短方向，剪切帶裡會長出一整套有固定角度關係的次生構造（考古題：畫出右移剪切帶的應變橢圓和次生構造）：

• 褶皺和逆斷層 ⊥ 縮短方向，排成雁行褶皺、雁行逆斷層；
• 張裂脈和正斷層 ⊥ 伸張方向；
• 共軛剪裂和縮短方向夾約 30°：R（同向）和 R′（反向）的 Riedel 剪裂；
• 雁行褶皺形成之後，也可能被後來的平移斷層錯開（p.18）。

這張圖在 Ch10（運動學指標）會再用到：在野外看到這些構造的排列方式，就能反推剪切的方向。

7. 應變 vs 應力

運動學（應變）和動力學（應力）是兩件事，投影片 p.43–44 用兩個問題提醒：

1. 知道三個主應力的大小和方向，能知道變形類型嗎？ 不能。同一個應力狀態，可以造成 pure shear，也可以造成 simple shear，取決於邊界條件（例如有沒有一個剛性的邊界、有沒有既有的弱面）和材料性質（Ch6 的流變）。
2. 反過來，從應變推應力會比較容易嗎？ 也不容易，但如果知道剪切帶邊界或岩層的方向（邊界條件），就有足夠的資訊來推。

所以 ISA 不一定等於應力軸：在均向材料中瞬時伸張軸和主應力軸可以平行，但在有層理、葉理的各向異性岩石中，兩者常常不重合。有限應變軸（累積的應變橢圓）就更不等於應力軸了，因為非共軸變形中它一直在轉。這是 Ch4–5 要分開講應力的原因。

8. 野外怎麼量應變（Ch3）

為什麼要做應變分析？ 了解岩石、露頭或一個區域的應變狀態和變化；畫出造山帶裡的剪切帶；估計剪切帶的錯動量；判斷剪切帶是不是 simple shear（Ch15）；了解褶皺的形成機制（Ch11）；例如用板岩裡變形的退色斑估計縮短了多少。

三個前提（p.60）：

1. 在觀察的尺度下應變是均質的。如果不是，就換一個尺度看：放大到非均質消失的尺度，或切成近似均質的子區。
2. 標誌和周圍岩石的力學性質相近。性質相同的叫被動標誌；性質不同的（例如很硬的礫石在軟的基質裡）是主動標誌，它的反應和周圍不同，造成應變分配：總應變在岩體中不均勻地分配。
3. 大致知道標誌原本的形狀。

應變標誌：鮞石、退色斑（原本是球形：細菌把 Fe³⁺ 還原成 Fe²⁺ 形成的淺色斑點，變形後成為鬆餅狀）、腕足類、菊石、箭石、筆石、岩脈、串腸構造、礫岩、角礫、珊瑚、氣孔、枕狀熔岩。

方法

先預測：Fry 法中，如果顆粒原本就不是均勻分布（例如有的擠成一堆），空白區還會清楚嗎？

（答案：不會。Fry 法和中心對中心法的前提就是「變形前相鄰中心的距離大致相同」，原本就叢聚的話，中央空白會被填掉、邊界模糊。）

容易混淆的地方

章末綜合題